Funkcje wielu zmiennych rzeczywistych Funkcjonały Równania Lagrange'a

Funkcjonał zależny od funkcji wielu zmiennych

Rozważmy teraz funkcjonał zależny od funkcji n-zmiennych. Ponieważ rozważania są analogiczne ograniczymy się do funkcji dwóch zmiennych. Niech \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) będzie obszarem zawartym w \( \hskip 0.3pc\mathbb R^2.\hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc f:\Omega\times\mathbb R^3\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1.\hskip 0.3pc \) Poszukujemy funkcji \( \hskip 0.3pc z=u(x,y),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc (x,y)\in \Omega,\hskip 0.3pc \) o zadanych wartościach \( \hskip 0.3pc u=\varphi \hskip 0.3pc \) na brzegu \( \hskip 0.3pc \partial \Omega\hskip 0.3pc \) obszaru \( \hskip 0.3pc \Omega,\hskip 0.3pc \) na której funkcjonał

\( {\cal F}(u)=\displaystyle\iint_{\Omega}f\big(x,y,u(x,y),u_x(x,y),u_y(x,y)\big)dxdy \)

osiąga wartość ekstremalną.
Zakładając, że \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest klasy \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc \) i rozumując jak poprzednio, można wyprowadzić następujący wzór na wariację funkcjonału

\( \delta{\cal F}(u)(h)=\displaystyle\iint_{\Omega}\big(f_uh+f_{u_x}h_x+f_{u_y}h_y\big)dxdy. \)

Wykorzystując wzór na całkowanie przez części i zakładając, że \( \hskip 0.3pc h(x,y)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc (x,y)\in \partial \Omega,\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( \delta{\cal F}(u)(h)=\displaystyle\iint_{\Omega}\Big(f_u- \dfrac {\partial}{\partial x} f_{u_x}-\dfrac {\partial}{\partial y} f_{u_y}\Big)h(x,y)dxdy. \)

Stąd i stosownego odpowiednika lematu 1 z modułu Równanie Eulera-Lagrange’a-1 otrzymamy następujące równanie Eulera-Lagrange'a

\( f_u- \dfrac {\partial}{\partial x} f_{u_x}-\dfrac {\partial}{\partial y} f_{u_y}=0. \)

Równanie to wraz z zadanym warunkiem brzegowym \( \hskip 0.3pc u(x,y)=\varphi (x,y) \hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc (x,y)\in \partial \Omega\hskip 0.3pc \), daje warunek konieczny istnienia ekstremum.

Przykład 1:

Znaleźć ekstremale funkcjonału

\( \displaystyle\iint_{\Omega}\big(u_x^2+u_y^2\big)dxdy \)

w klasie funkcji \( \hskip 0.3pc u\in C^2(\Omega)\hskip 0.3pc \) spełniających warunek: \( \hskip 0.3pc u(x,y)=\varphi (x,y)\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc (x,y)\in \partial \Omega,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) jest funkcją daną.

W rozważanym przypadku \( \hskip 0.3pc f=u_x^2+u_y^2,\hskip 0.3pc \) a równanie Eulera-Lagrange'a przybiera postać

\( \Delta u=0\qquad \textrm {z warunkiem}\quad u|_{\partial \Omega}=\varphi . \)

Szukana ekstremala \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest zatem rozwiązaniem zagadnienia Dirichleta dla równania Laplace'a.

Przykład 2:

Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc g:\Omega\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \varphi :\partial \Omega\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) funkcją ciągłą, \( \hskip 0.3pc \Omega \subset R^n\hskip 0.3pc \) jest obszarem o regularnym brzegu. Znaleźć ekstremale funkcjonału

\( \displaystyle\int_\Omega\Big(\dfrac 12\sum_{i=1}^nu_{x_i}^2-gu\Big)dx \)

w klasie funkcji \( \hskip 0.3pc u\in C^2(\Omega),\hskip 0.3pc \) przyjmujących wartość \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) na \( \hskip 0.3pc \partial \Omega.\hskip 0.3pc \)

W tym przypadku

\( f=\dfrac 12\displaystyle\sum_{i=1}^nu_{x_i}^2-gu, \)

równanie Eulera-Lagrange'a ma postać

\( g-\displaystyle\sum_{i=1}^nu_{x_ix_i}=0 \)

a ekstremala jest rozwiązaniem równania

\( \Delta u=g \)

z warunkiem brzegowym

\( u=\varphi \quad {\rm na}\hskip 0.3pc \partial \Omega. \)

Szukana ekstremala jest zatem rozwiązaniem zagadnienia Dirichleta dla równania Poissona.

Przykład 3:

Możemy teraz rozwiązać postawiony na wstępie problem minimalnej powierzchni przechodzącej przez zadaną krzywą.

Niech krzywa \( \hskip 0.3pc \Gamma\hskip 0.3pc \) dana jest równaniami \( \hskip 0.3pc x=x(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y=y(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc z=z(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t\in[\alpha ,\beta ].\hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc \Omega\subset \mathbb R^2\hskip 0.3pc \) będzie obszarem ograniczonym krzywą \( \hskip 0.3pc x=x(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y=y(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t\in[\alpha ,\beta ].\hskip 0.3pc \) Szukamy funkcji \( \hskip 0.3pc z=u(x,y),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc (x,y)\in \Omega,\hskip 0.3pc \) realizującej minimum funkcjonału

\( \displaystyle\iint_\Omega \sqrt{1+u_x^2+u_y^2}\, dxdy \)

i takiej, że \( \hskip 0.3pc u\big(x(t),y(t)\big)=z(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t\in[\alpha ,\beta ].\hskip 0.3pc \)

Oczywiście \( \hskip 0.3pc f= \sqrt{1+u_x^2+u_y^2}.\hskip 0.3pc \) Szukana ekstremala jest rozwiązaniem równania

\( \big(1+u_y^2\big)u_{xx}-2u_xu_yu_{xy}+\big(1+u_x^2\big)u_{yy}=0, \)

spełniającym warunek

\( u(x(t),y(t))=z(t)\quad{\rm dla}\hskip 0.3pc t\in[\alpha ,\beta ]. \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Funkcjonał zależny od funkcji wielu zmiennych

Przykład 1:

Przykład 2:

Przykład 3: